Lupulagem e a conversão de humulone em iso-humulone considerando saturação¶
O lúpulo é um componente fundamental da cerveja, que confere o amargor para equilibrar o dulçor do malte.
Mas esse amargor não está disponível de forma direta.
É necessário um processo químico, obtido através da fervura do mosto, para que o amargor seja bem aproveitado.
Vamos analisar alguns modelos para tratar esse processo.
Forma e composição do lúpulo¶
O lúpulo é uma flor de uma trepadeira da família Cannabaceae.
Os seus principais componentes são os óleos essenciais (aroma) e os alfa-ácidos (amargor).
Os alfa-ácidos, em si, têm baixa solubilidade e pouco grau de amargor.
Durante a fervura do mosto, os alfa-ácidos são transformados em iso-alfa-ácidos, que possuem solubilidade e grau de amargor bem maiores, sendo a principal componente de amargor na cerveja.
In [2]:
load(joinpath("img","hopcones_farm.jpg"))
Out[2]:
In [3]:
load(joinpath("img","HopAnatomy_600x400.jpg"))
Out[3]:
In [4]:
load(joinpath("img","CompositionofHopCones.png"))
Out[4]:
In [5]:
load(joinpath("img","TotalResins_600.png"))
Out[5]:
Humulone¶
Há vários tipos de alfa-ácidos (humulone, co-humulone, ad-humulone, etc.) e iso-alfa-ácidos (versões cis e trans de cada).
O mais abundante dos alfa-ácidos é o humulone.
No que se segue, vamos considerar dados de utilização do humulone, obtidos em laboratório, para ajustar alguns modelos e escolher o que nos dá o melhor ajuste.
In [6]:
load(joinpath("img","distributionofalphaacids.tiff"))
Out[6]:
Dissociação, isomerização e degradação¶
Ao ser adicionado ao mosto, durante e ao longo da fervura, os seguinte principais processos acontecem:
- (Dissociação) Os alfa-ácidos se dissociam dos outros componentes do lúpulo;
- (Isomerização) Os alfa-ácidos são convertidos em iso-alfa-ácidos, a taxas de reação dependentes da temperatura e do pH.
- (Degradação) Os iso-alfa-ácidos são transformados, por hidrólise, em outras substâncias sem propriedades significativas de amargor.
Podemos representar essas reações da seguinte forma, onde $A$ indica um alfa-ácido; $A_\mathrm{iso}$, um isômero de alfa-ácido; $R$ o conjunto dos outros componentes do lúpulo; e $S$ o conjunto de substâncias degradadas dos iso-alfa-ácidos:
- (Dissociação) $AR \rightarrow pA + (1-p)R$;
- (Isomerização) $A + H_2 O \rightleftharpoons A_{\mathrm{iso}} + H_2 O$;
- (Hidrólise) $A_{\mathrm{iso}} + H_2 O \rightarrow S$.
O fator $p$ indica a porcentagem de alfa-ácidos em $AR$.
In [7]:
load(joinpath("img","IsomerizationandDegradation.png"))
Out[7]:
Equações de reação¶
Vamos denotar as concentrações de $AR$, $R$, $A$, $A_\mathrm{iso}$ $H_2O$ e $S$ por $b$, $r$, $a$, $i$ e $h$.
Sem a saturação, as reações nos levam às equações parcialmente acopladas
- Quando $a$ é fornecido diretamente, basta nos concentrarmos no sistema
Na prática, $H_2O$ é abundante, com as outras substâncias sendo da ordem de miligramas por litro, ou, aproximadamente, partes por milhão, de tal forma que $h\approx 1$.
Além disso, a reação inversa à de isomerização é negligível. Isso nos leva ao sistema
Solubilidade¶
A principal característica que buscamos considerar é a solubilidade dos alfa-ácidos.
Os modelos usuais de cálculo de utilização não levam a solubilidade em consideração.
A solubilidade limita a taxa de reação, ao limitar a quantidade de alfa-ácidos disponível para a isomerização.
Vamos comparar o modelo sem saturação com os três modelos de saturação discutidos em trabalho sobre ..., além de uma variação de um desses modelos.
Como as solubilidades dos iso-alfa-ácidos e dos ácidos degradados são bem mais altas, vamos considerar a solubilidade apenas dos alfa-ácidos. No caso, apenas do humulone.
In [8]:
load(joinpath("img","Spetsig-BitterAcidsofHops.png"))
Out[8]:
- Com saturação $f = f(a, \bar a)$, consideramos
- Temos
- $f(a, \bar a) \approx a$, para $a\ll \bar a$;
- $f(a, \bar a) \approx \bar a$, para $a \approx \bar a$.
Funções de modelagem de saturação¶
In [9]:
nosat(x, x̄) = x
blackman(x, x̄) = min(x, x̄)
teissier(x, x̄) = x̄ * (1 - exp(- 2 * log(2) * x / x̄))
teissier_mod(x, x̄) = x̄ * (1 - exp( - x / x̄))
monod(x, x̄) = x̄ * x / ( 2 * x̄ + x)
# List of the symbols with the names of the defined functions saturation/no-saturation functions
const SATFUNS = (:nosat, :blackman, :teissier, :teissier_mod, :monod)
nothing
In [10]:
# Plot saturation functions
#
# solubility limit for the humulone alpha-acid in wort at 100C and pH about 5.2 (Spetsig)
x̄ = 380
x = 0.0:4.0x̄
plot(title="Funções de saturação com limite de solubilidade x̄ = $x̄", ylim=(0, 1.5*x̄), titlefont=10)
for f in SATFUNS
plot!(x, x -> eval(f)(x, x̄), label="$f")
end
display(plot!(xlabel="concentração (mg/l)", ylabel="concentração parte solubilizada (mg/l)"))
Equações diferenciais do sistema de reações químicas¶
In [11]:
"""
dudt_nosat!(du, u, params, t)
Right hand side of the system of reaction equations
x' = -k₁x
y' = k₁x - k₂y
modeling the chain reaction X → Y → Z, with reaction rates k₁ and k₂,
respectively.
"""
function dudt_nosat!(du, u, params, t)
x, y = u
k₁, k₂ = params
f = k₁ * x
g = k₂ * y
du[1] = - f
du[2] = f - g
end
"""
dudt_Blackman!(du, u, params, t)
Right hand side for the system of reaction equations with Blackman-type
saturation:
x' = -k₁ * min(x,x̄)
y' = k₁ * min(x,x̄) - k₂ * y
It models the chain reaction X → Y → Z, with reaction rates k₁ and k₂,
respectively, and with a hard threshold saturation behavior for the component x,
i.e. the reaction rate is dictated by the saturation limit x̄, once the saturation
is achieved, or by the concentration itself, even if it is close to the
saturation limit.
"""
function dudt_Blackman!(du, u, params, t)
x, y = u
k₁, k₂, x̄ = params
f = k₁ * min(x, x̄)
g = k₂ * y
du[1] = - f
du[2] = f - g
end
"""
dudt_Teissier!(du,u, params,t)
Right hand side for the system of reaction equations with Teisser-type
saturation behavior:
x' = -k₁ * x̄ * (1 - exp(-2 * log(2) * x / x̄))
y' = k₁ * x̄ * (1 - exp(-2 * log(2) * x / x̄)) - k₂ * y
It models the chain reaction X → Y → Z, with reaction rates k₁ and k₂,
respectively, and with a smoothed out saturation behavior as modeled by Teissier.
"""
function dudt_Teissier!(du, u, params, t)
x, y = u
k₁, k₂, x̄ = params
f = k₁ * x̄ * (1 - exp(-2 * log(2) * x / x̄))
g = k₂ * y
du[1] = - f
du[2] = f - g
end
"""
dudt_Teissier_mod!(du, u, params, t)
Right hand side for the system of reaction equations with modified Teisser-type
saturation behavior:
x' = -k₁ * x̄ * (1 - exp( x / x̄ ))
y' = k₁ * x̄ * (1 - exp( x / x̄ )) - k₂ * y
It models the chain reaction X → Y → Z, with reaction rates k₁ and k₂,
respectively, and with a smoothed out saturation behavior as modeled by
a slight modification of the Teissier model; see [`dudt_Teissier!`](@ref).
"""
function dudt_Teissier_mod!(du, u, params, t)
x, y = u
k₁, k₂, x̄ = params
f = k₁ * x̄ * (1 - exp(- x / x̄))
g = k₂ * y
du[1] = - f
du[2] = f - g
end
"""
dudt_Monod!(du, u, params, t)
Right hand side for the system of reaction equations with Monod-type
saturation behavior:
x' = -k₁ * x̄ * x / (2 * x̄ + x)
y' = k₁ * x̄ * x / (2 * x̄ + x) - k₂ * y
It models the chain reaction X → Y → Z, with reaction rates k₁ and k₂,
respectively, and with a smoothed out saturation behavior as modeled by
the Monod model.
"""
function dudt_Monod!(du, u, params, t)
x, y = u
k₁, k₂, x̄ = params
f = k₁ * x̄ * x / ( 2 * x̄ + x )
g = k₂ * y
du[1] = - f
du[2] = f - g
end
"""
const RHSLAWS
List of implemented RHS reaction laws.
"""
const RHSLAWS = (
:dudt_nosat!, :dudt_Blackman!, :dudt_Teissier!, :dudt_Teissier_mod!, :dudt_Monod!
)
nothing
Dados¶
Dados extraídos do artigo de Maule (direto da figura).
Os dados são da concentração de humulone e iso-humulone tanto no mosto (apó a fervura) quanto no hot-break.
O hot-break é um agregado de material coagulado e que decanta com o resfriamento do mosto após a fervura.
Concentrações em mg/l.
In [12]:
load(joinpath("img","Maule-FateofHumuloneDuringWortBoilingandCooling-JInstBrewing-1966-Figure4.png"))
Out[12]:
In [13]:
humulone_in = [37.2; 79.1; 97.7; 118.6; 158.1; 190.7; 384.9; 672.1]
humulone_wort = [14.0; 24.4; 23.8; 34.9; 46.5; 52.3; 79.1; 99.4]
humulone_break = [7.0; 9.3; 10.5; 12.8; 15.1; 18.0; 62.2; 180.2]
isohumulone_wort = [27.3; 39.5; 51.2; 59.3; 76.7; 91.9; 159.3; 206.4]
isohumulone_break = [1.7; 4.1; 5.8; 7.0; 8.7; 12.2; 46.5; 96.5]
humulone_remaining = humulone_wort + humulone_break
isohumulone_remaining = isohumulone_wort + isohumulone_break
nothing
Exploração dos dados¶
- Vamos examinar os dados, traçando os gráficos de humulone e iso-humulone, respectivamente.
In [14]:
plot(humulone_in, humulone_wort, label=false, color=1, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, humulone_wort, label="humulone no mosto", legend=:topleft, color=1)
plot!(humulone_in, humulone_break, label=false, color=2, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, humulone_break, label="humulone no hot-break", color=2)
plot!(humulone_in, isohumulone_wort, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, isohumulone_wort, label="iso-humulone no mosto", color=3)
plot!(humulone_in, isohumulone_break, label=false, color=4, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, isohumulone_break, label="iso-humulone no hot-break", color=4)
plot!(title="Destino de quantidades crescentes de humulone após fervura do mosto por 1h30min",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="concentração (mg/l)")
Out[14]:
In [15]:
plot(humulone_in, isohumulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, isohumulone_remaining , label="iso-humulone restante", color=3)
plot!(humulone_in, humulone_remaining, label=false, color=1, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, humulone_remaining , label="humulone restante", color=1)
plot!(title="Humulone e iso-humulone restantes após fervura do mosto por 1h30min", legend=:topleft,
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="concentração (mg/l)")
Out[15]:
In [16]:
plot(humulone_in, 100 * isohumulone_remaining ./ humulone_in, label=false, color=7, linestyle=:dot, ylims=(20.0, 80.0))
scatter!(humulone_in, 100 * isohumulone_remaining ./ humulone_in, label=false, color=7, linestyle=:dot)
plot!(title="Taxa de rendimento após fervura do mosto por 1h30min", titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)",
ylabel="taxa de rendimento (%)")
Out[16]:
In [17]:
# Both reaction rates from Malowicki and Shellhammer [Agric. Food Chem., Vol. 53, No. 11, 2005], Table 3 for humulone at 100C
k₁ = 0.01141
k₂ = 0.00263
# solubility limit (mg/l) for the alpha-acid in wort at 100C and pH about 5.2 (Spetsig)
x̄ = 380
# solubility limit (mg/l) for the iso-alpha-acid at 100C and pH 5.2 ???
ȳ = 1000 # não usaremos esse dado nessa análise
# parâmeros
β₀ = [k₁, k₂, x̄]
# tempo de fervura
tspan = (0.0, 90.0)
nothing
Solução da reação pelos diversos modelos e sem ajuste¶
In [18]:
isohumulone_model = Dict()
humulone_model = Dict()
for rhs in RHSLAWS
isohumulone_model[rhs] = zero(humulone_in)
humulone_model[rhs] = zero(humulone_in)
for (i,h) in enumerate(humulone_in)
# lupulagem inicial (humulone e iso-humulone)
u0 = [h; 0.0]
prob = ODEProblem(eval(rhs), u0, tspan, β₀)
sol = solve(prob,Tsit5())
humulone_model[rhs][i], isohumulone_model[rhs][i] = sol(90.0)
end
end
In [19]:
plot(humulone_in, isohumulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, isohumulone_remaining , label="dados experimentais", legend=:topleft, color=3)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
plot!(humulone_in, isohumulone_model[rhs], label=false, color=8, linestyle=:dash)
scatter!(humulone_in, isohumulone_model[rhs], label="modelo $rhs", color=12+i)
end
plot!(title="Iso-humulone existente após fervura do mosto por 1h30min",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="iso-humulone (mg/l)")
Out[19]:
In [20]:
plot(humulone_in, humulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, humulone_remaining , label="dados experimentais", legend=:topleft, color=3)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
plot!(humulone_in, humulone_model[rhs], label=false, color=8, linestyle=:dash)
scatter!(humulone_in, humulone_model[rhs], label="modelo $rhs", color=12+i)
end
plot!(title="Humulone restante após fervura do mosto por 1h30min",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="humulone (mg/l)")
Out[20]:
In [21]:
model = Dict()
fit = Dict()
N = length(isohumulone_remaining)
ih_mean = mean(isohumulone_remaining)
ih_ss_tot = N * var(isohumulone_remaining)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
model[rhs] = (h, β) -> solve(ODEProblem(eval(rhs), [h,0.0], (0.0, 90.0), vcat(β, [x̄])),Tsit5())(90.0)[2]
fit[rhs] = curve_fit((h,β) -> model[rhs].(h, Ref(β)), humulone_in, isohumulone_remaining, β₀[1:2])
β = fit[rhs].param
ih_ss_reg = sum(abs2, vcat(model[rhs].(humulone_in, Ref(β))'...) .- ih_mean)
ih_r_sq = ih_ss_reg/ih_ss_tot
ih_ss_res = sum(abs2, vcat(model[rhs].(humulone_in, Ref(β))'...) - isohumulone_remaining)
ih_rms = sqrt(ih_ss_res/N)
println("$rhs")
println("Parâmetros (k₁, k₂): $β")
println("R-quadrado isohumolone: $ih_r_sq")
println("RMS isohumulone: $ih_rms")
println()
end
Ajuste por humulone e iso-humulone via Optim¶
In [22]:
model[:dudt_nosat!].(humulone_in, Ref(β₀))
Out[22]:
In [23]:
reduce(hcat, model[:dudt_nosat!].(humulone_in, Ref(β₀)))'
Out[23]:
In [24]:
[humulone_remaining isohumulone_remaining]
Out[24]:
Ajustando parâmetros de reação¶
- Mas fixando limite de solubilidade $\bar x$ conhecido.
In [25]:
model = Dict()
result = Dict()
N = length(humulone_remaining)
h_mean = mean(humulone_remaining)
ih_mean = mean(isohumulone_remaining)
h_ss_tot = N * var(humulone_remaining)
ih_ss_tot = N * var(isohumulone_remaining)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
model[rhs] = (h, β) -> solve(ODEProblem(eval(rhs), [h,0.0], (0.0, 90.0), vcat(β, [x̄])),Tsit5())(90.0)
custo(β) = sum(abs2, [humulone_remaining isohumulone_remaining] - reduce(hcat, model[rhs].(humulone_in, Ref(β)))')
result[rhs] = optimize(custo, β₀[1:2])
β = Optim.minimizer(result[rhs])
sol = model[rhs].(humulone_in, Ref(β))
h_ss_reg = sum(abs2, getindex.(sol,1) .- h_mean)
ih_ss_reg = sum(abs2, getindex.(sol,2) .- ih_mean)
h_r_sq = h_ss_reg/h_ss_tot
ih_r_sq = ih_ss_reg/ih_ss_tot
println("$rhs")
println("Parâmetros (k₁, k₂): $β")
println("Mínimo: $(Optim.minimum(result[rhs]))")
println("R-quadrado humolone: $h_r_sq")
println("R-quadrado isohumolone: $ih_r_sq")
println("RMS: $(√Optim.minimum(result[rhs])/2/N)")
println()
end
Ajustando parâmetros de reação e limite de solubilidade¶
In [26]:
model = Dict()
result = Dict()
N = length(humulone_remaining)
h_mean = mean(humulone_remaining)
ih_mean = mean(isohumulone_remaining)
h_ss_tot = N * var(humulone_remaining)
ih_ss_tot = N * var(isohumulone_remaining)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
model[rhs] = (h, β) -> solve(ODEProblem(eval(rhs), [h,0.0], (0.0, 90.0), β),Tsit5())(90.0)
custo(β) = sum(abs2, [humulone_remaining isohumulone_remaining] - reduce(hcat, model[rhs].(humulone_in, Ref(β)))')
result[rhs] = optimize(custo, β₀)
β = Optim.minimizer(result[rhs])
sol = model[rhs].(humulone_in, Ref(β))
h_ss_reg = sum(abs2, getindex.(sol,1) .- h_mean)
ih_ss_reg = sum(abs2, getindex.(sol,2) .- ih_mean)
h_r_sq = h_ss_reg/h_ss_tot
ih_r_sq = ih_ss_reg/ih_ss_tot
println("$rhs")
println("Parâmetros (k₁, k₂, x̄): $β")
println("Mínimo: $(Optim.minimum(result[rhs]))")
println("R-quadrado humolone: $h_r_sq")
println("R-quadrado isohumolone: $ih_r_sq")
println("RMS: $(√Optim.minimum(result[rhs])/2/N)")
println()
end
Observação:
- Além de ter o menor RMS, note quão próximos os parâmetros do ajuste desse modelo ficaram dos extraídos da literatura.
In [27]:
isohumulone_model_adj = Dict()
humulone_model_adj = Dict()
for rhs in RHSLAWS
isohumulone_model_adj[rhs] = zero(humulone_in)
humulone_model_adj[rhs] = zero(humulone_in)
for (i,h) in enumerate(humulone_in)
# lupulagem inicial (humulone e iso-humulone)
u0 = [h; 0.0]
prob = ODEProblem(eval(rhs), u0, tspan, Optim.minimizer(result[rhs]))
sol = solve(prob, Tsit5())
humulone_model_adj[rhs][i], isohumulone_model_adj[rhs][i] = sol(90.0)
end
end
In [28]:
plot(humulone_in, isohumulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, isohumulone_remaining, marker=:star, label="dados experimentais", legend=:topleft, color=3)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
plot!(humulone_in, isohumulone_model_adj[rhs], label=false, color=8, linestyle=:dash)
scatter!(humulone_in, isohumulone_model_adj[rhs], label="modelo $rhs", color=12+i)
end
plot!(title="Iso-humulone existente após fervura do mosto por 1h30min",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="iso-humulone (mg/l)")
Out[28]:
In [29]:
for (i, rhs) in enumerate(RHSLAWS)
p = plot(humulone_in, isohumulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(p, humulone_in, isohumulone_remaining, marker=:star, legend=nothing, color=3)
plot!(p, humulone_in, isohumulone_model_adj[rhs], color=8, linestyle=:dash)
scatter!(p, humulone_in, isohumulone_model_adj[rhs], color=12+i)
plot!(p, title="Iso-humulone restante; modelo $rhs",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="iso-humulone (mg/l)")
display(p)
end
In [30]:
plot(humulone_in, humulone_remaining, label=false, color=3, linestyle=:dot)
scatter!(humulone_in, humulone_remaining , marker=:star,
label="dados experimentais", legend=:topleft, color=3)
for (i,rhs) in enumerate(RHSLAWS)
plot!(humulone_in, humulone_model_adj[rhs], label=false, color=8, linestyle=:dash)
scatter!(humulone_in, humulone_model_adj[rhs], label="modelo $rhs", color=12+i)
end
plot!(title="Humulone restante após fervura do mosto por 1h30min",
titlefont=8, xlabel="humulone adicionado (mg/l)", ylabel="humulone (mg/l)")
Out[30]:
Evolução temporal (WIP)¶
Vamos analisar, agora, a evolução temporal das concentrações de humulone e iso-humulone.
Dados obtidos da figura 1 do artigo do Maule.
Cada 360 pixels equivalem aproximadamente a 1h no eixo horizontal e a 20mg/l no eixo vertical.
Os números abaixo são aproximações com mais ou menos 2 pixels de precisão.
Convertidos para mg/l multiplicando-se por 1/18 mg/l/pixel = (20mg/l)/(360 pixels).
As medições foram feitas a cada 30 minutos, em um período de 3h de fervura.
In [31]:
load(joinpath("img","Maule-FateofHumuloneDuringWortBoilingandCooling-JInstBrewing-1966-Figure1.png"))
Out[31]:
In [32]:
tempos = 60.0 * [0.5:0.5:3.0...]
hum_wort = [670, 597, 523, 448, 386, 333]./18
hum_break = [117, 115, 114, 95, 72, 56]./18
iso_wort = [552, 820, 958, 1038, 1095, 1130]./18
iso_break = [40, 49, 69, 79, 100, 116]./18
nothing
In [33]:
scatter(tempos, hum_wort, color=1, label="humulone mosto")
plot!(tempos, hum_wort, color=1, linestyle=:dash, label=false)
scatter!(tempos, hum_break, color=2, label="humulone hot-break")
plot!(tempos, hum_break, color=2, linestyle=:dash, label=false)
scatter!(tempos, iso_wort, color=3, label="isohumulone mosto")
plot!(tempos, iso_wort, color=3, linestyle=:dash, label=false)
scatter!(tempos, iso_break, color=4, label="isohumulone hot-break")
plot!(tempos, iso_break, color=4, linestyle=:dash, label=false)
plot!(title="Evolução humulone e isomulone no mosto e no hot-break", titlefont=10,
xlabel = "tempo (hr)", ylabel="concentração (mg/l)",
xlim=(0.0, 3.5 * 60.0), legend=:topleft)
Out[33]:
In [34]:
rhs = :dudt_Blackman!
β = Optim.minimizer(result[rhs])
println(β)
println(β₀)
prob = ODEProblem(eval(rhs), [20.0, 50.0], (0.0, 180.0), β)
sol = solve(prob, Tsit5())
nothing
In [35]:
scatter(tempos, hum_wort + hum_break, color=1, label="humulone (dados)")
scatter!(tempos, iso_wort + iso_break, color=2, label="iso-humulone (dados)")
plot!(sol, label=["humulone" "isohumulone"])
plot!(title="Evolução humulone e iso-humulone (dados e modelo $rhs)", titlefont=10,
xlabel = "tempo (s)", ylabel="concentração (mg/l)",
xlim=(0.0, 3.5 * 60.0), legend=:topleft)
Out[35]: